曼-惠特尼U检验 - 概述

在此系列, 本文将介绍曼-惠特尼U检验，并且实现能进行小样本显著性检验的Python代码。这是 Scipy 的原版曼-惠特尼U检验的扩展代码。

当前（2019）的scipy版本仅支持大样本检验（n>20），所以新代码补充了小样本（n<20）检验的方法。

第一部分: 曼-惠特尼U检验的概述

第二部分 : 曼-惠特尼U检验的Python实现

曼-惠特尼U检验

曼-惠特尼U检验是独立样本t-检验的一种非参数检验替代。它同时检验了排列的顺序和分布的形状。给定两个独立数组，它将检验是否其中一组数据倾向于大于另一组数据 （样本均值的检验）。理论上，在大样本检验中，曼-惠特尼检验也可以用于检验两组数据是否来自不同分布，即使它们的中位数非常相似。

该检验并不假设样本是正太分布，或方差相等， 或两组样本数量相同。

因此:

• 当样本不来自正太分布时，曼-惠特尼U检验通常作为t-检验的替代被采用;
• 通常，当样本数小（n<20）时采用曼-惠特尼U检验;
• 曼-惠特尼U检验可检测不同的分布的形状与分散程度，以及中位数的区别。

检验统计量与计算实例

设想我们将要实验调查一种新药的有效性。一共有n=10名被试被随机分配服用新药或安慰剂。被试将记录下他们的不适程度（数值越高，越不舒服）。

数据如下：

安慰剂	7	5	6	4	12
新药	3	6	4	2	1

假设如下所示，并且这是一个 5%的显著性水平检验 (i.e., $\alpha=0.05$):

$$H_{0}: 这两个分布相同 \\ H_{1}: 这两个分布不相同$$

因为样本数很小 ($n_{1}=n_{2}=5$)， 所以非参数检验将被采用。我们将用曼-惠特尼U检验解决这个问题。

曼-惠特尼U检验的检验统计量被记作 $U$ ，它在原假设下的分布是已知的. 对于小样本， $U$ 的分布被列成了表。当样本量大于 ~20时， $U$ 的分布近似于正太分布。

小样本例子

统计量， $U$，计算起来非常简单，特别是对于小样本检验。

1. 计算轶

   第一步是为数据分级。我们将全部数据（将两组被试数据放到一起（n=10））按大小顺序排列，并为它们分配等级（从1到10），结果如下表：

   数值 （已排序）		轶（等级）
   安慰剂	新药	安慰剂	新药
   	1		1
   	2		2
   	3		3
   	2		2
   4	4	4.5	4.5
   5		6
   6	6	7.5	7.5
   7		9
   12		10

   对于相等的数据，我们使用它们的轶的平均值。

2. 计算各组轶的总和

   第二步是计算各组轶的和，$R$。

   对于安慰剂组，

   $$R_{1} = 4.5 + 6 + 7.5 + 9 + 10 = 37$$

   对于新药组，

   $$R_{2} = 1 + 2 + 3 + 2 + 4.5 + 7.5 = 18$$

3. 计算 $U$

   给定如下公式，

   $$U_{i} = n_{1}n_{2} + \frac{n_{i}(n_{i}+1)}{2} - R_{i} \\ U = min( U_{1}, ..., U_{i})$$

   那么在本例中，

   $$U_{1} = 5(5) + \frac{5(6)}{2} - 37 = 3 \\ U_{1} = 5(5) + \frac{5(6)}{2} - 18 = 22$$

   因此统计量 $U=3$。

4. 比较 $U$ 与 $U$的临界值

   在每一次检验中，我们都将判断基于观测到的 $U$ 值，原假设是否成立。对于曼-惠特尼U检验，判断的方式与其他参数检验相同。我们将首先定义 $U$的临界值， 满足：

   若 $U \leq \ U的临界值$，我们拒绝原假设 $H_{0}$，而

   若 $U > \ U的临界值$ ，我们不拒绝原假设 $H_{0}$。

   $U$ 的临界值表如下：

   从表中可得， $U的临界值 = 2$ 因此，

   $$U = 3 > 2 = \ U的临界值$$

   我们不拒绝原假设 $H_{0}$ 并且在显著程度$\alpha =0.05$时，没有显著性的证据表明这两个分布不相等。

在大样本的情况下 (n > 20)

当样本数量大时，$U$ 值近似于一个正太分布，所以可以用Z-检验检测原假设。

1. 计算 $U$

   在此，

   $$U = max( U_{1}, ..., U_{i})$$

2. 计算 $U$ 统计量的Z值

   $$\sigma _{U}={\sqrt {n_{1}n_{2}(n_{1}+n_{2}+1) \over 12}} \\ \\ Z = \frac{ U - \frac{n_{1}n{2}}{2}}{\sigma _{U}}$$

3. 判断

   比较观测到的Z值与Z的临界值以判断应保留或拒绝原假设。 相似地，在5%的显著程度上，

   若 $Z \leq \ Z的临界值 = 1.96$，我们不拒绝$H_{0}$ 而，

   若 $Z > \ Z的临界值 = 1.96$，拒绝 $H_{0}$ 。

曼-惠特尼U检验的Python实现

今天，多数统计包都可以使用曼-惠特尼U检验。比如在Python中， scipy.stat 含有曼-惠特尼U检验。

然而，曼-惠特尼U检验的scipy版本提及：

Use only when the number of observation in each sample is > 20.
（仅当观测样本量>20时可用）

因为曼-惠特尼U检验对于小样本检验而言非常有用，比如医疗数据（许多临床试验只有非常少的样本量），所以在这里使用Python实现了一个完整的曼-惠特尼U检验，可用于小样本与大样本两种情况。

在 第二部分，将详细展示这个新应用。

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更多细节：

曼-惠特尼U检验：网页应用

源代码

Github